KRUŽNICA
KRUŽNICA
- je to množina bodov, ktoré majú od stredu S stálu vzdialenosť r (polomer)
-priemer d; d=2r
ROVNICA KRUŽNICE
-
stredové
-
všeobecný
STREDOVÝ TVAR
-
ak má stred v začiatku súradnicovej sústavy
-
ak nemá stred v začiatku súradnicovej sústavy
so stredom v začiatku súradnicovej sústavy
x2+y2=r2
so stredom mimo začiatku súradnicovej sústavy
A[x;y] bod A má súradnice x, y
S[m;n] bod S má súradnice m,n
(x-m)2+(y-n)2=r2
Priklad:
Kružnica k má stred S [1;-2] a polomer r=3cm
napíšte stredový tvar rovnice kružnice
(x-1)2+[y-(-2)]2=9
(x-1)2+(y+2)2=9
VŠEOBECNÝ TVAR
(x-m)2+(y-n)2=r 2 stredový tvar rovnice
x2 -2xm+m2 + y 2-2yn+n 2=r 2 roznásobíme
x2 + y 2 -2xm -2yn +m2+n 2-r 2=0 upravíme si poradie jednotlivých členov
x2 +y2 +ax+by+c=0 zavedieme substitúciu(dosadenie, nahradenie)
-2m=a
-2n =b
m2+n 2-r 2=c
Príklad:
(x-1)2+(y+2)2=9
x2 -2x+1+ y 2 +4y-4=0
VZÁJOMÁ POLOHA PRIAMKY A KRUŽNICE
Zistíme ju riešením sústavy ich rovníc, tak že, rovnicu priamky dosadíme do rovnice kružnice
2 riešenia- priamka je sečnica
1 riešenie- priamka je dotyčnica
0 riešení- priamka nemá s kružnicou spoločný bod
p:4x-3y-20=0 rovnica priamky
x=(3y+20)/4 vyjadríme si x z rovnice priamky
k:x2+y2= 25 rovnica kružnice
[(3y+20)/ 4]2+ y2=25 dosadíme rovnicu priamky do kružnice
[(9y2+120+400)/16]-y2=25 roznásobíme
9y2+120+400+16y2=400 odstránime menovateľa (roznásobíme 16)
25y2+120=0 zrátame
y(5y+24)=0 vyjmeme y
y1=0
y2=-(24/5)
x1=5
x2=-7/5
ELIPSA
-množina bodov v rrovine ktoré majú od ohnísk F1,F2 stály súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto ohnísk
e- ohnisková vzdialenosť (od ohniska po stred)
a- veľkosť hlavnej polosi (od stredu po hlavný vrchol)
b- veľkosť vedľajšej polosi(od stredu po hlavný)
S- stred
A,B- hlavné vrcholy
C,.D- vedľajšie vrcholy
a2=b2+e2
Rrovnice elipsy
-
ak má stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je totožná s osou x
-
ak má stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je totožná s osou y
-
ak nemá stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je rovnobežná s osou x
-
ak nemá stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je rovnobežná s osou y
ak má stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je totožná s osou x
(x2/a2)+(y2/b2)=1
ak má stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je totožná s osou y
(x2/b2)+(y2/a2)=1
ak nemá stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je rovnobežná s osou x
[(x2-m)/a2]+[(y2-n)/b2]=1
ak nemá stred v začiatku súradnicovej sústavy a hlavná os je rovnobežná s osou y
[(x2-m)/b2]+[(y2-n)/a2]=1